Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）．f（α）=一$\sqrt{2}$，f（β）=0．且|α-β|最小值為$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意利用正弦函數(shù)的圖象的周期性求得ω，可得函數(shù)的最小正周期．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的減區(qū)間求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$）滿足f（α）=一$\sqrt{2}$，f（β）=0，且|α-β|最小值為$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{4}$，求得ω=2．
故函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由以上可得，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得 kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，k∈Z，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．