Question

如圖，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長都為a，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，側(cè)棱A₁A⊥平面ABCD，F(xiàn)為棱B₁B的中點，M為線段AC₁的中點．
（Ⅰ）求證：平面AFC₁⊥平面A₁C₁AC；
（Ⅱ）求三棱錐C₁-ABF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD，易證BD⊥平面ACC₁A₁，而NA∥BD，從而有NA⊥平面ACC₁A₁，由面面垂直的判定定理即可證得平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）三棱錐C₁-ABF的體積，直接求解即可．

解答： （1）證明：（如上圖）連結(jié)BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，可知：A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC、A₁A?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．…（7分）
而NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC₁A₁．
又∵NA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁                                           …（9分）
（2）解：∵∠DAB=60°，∴C到AB的距離為：asin60°=

3

2

a，就是C₁到平面ABF的距離，AD=AA₁=a，
∴三棱錐A₁-AC₁F的體積：

1

3

×

1

2

AB•BF•

3

2

a=

1

3

×

1

2

×a×

1

2

a×

3

2

a=

3

24

a3…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查平面與平面垂直的判斷及棱錐的體積，考查推理分析與運算能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運用，屬于中檔題．