Question

如圖，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，，分別為AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若，求證：平面BEF⊥平面ABC；
（2）若，，求平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，由，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得EF∥CD，由線面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，可得平面BEF⊥平面ABC；
（2）方法一（向量法）建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，根據(jù)，分別為AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，，，分別求出平面BEF與平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大小．
方法二（幾何法）延長(zhǎng)EF，交CD的延長(zhǎng)線于G，連接BG，過E作EH⊥BC于H，可得EH⊥平面BCD，過H作HK⊥BG于K，連接EK，則∠EKH即為所求二面角的平面角，解Rt△BCD即可求出平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大小．
解答：證明：（1）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
∵，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
解：（2）解法一（向量法）：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz
則，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
設(shè)平面BEF，
則，
設(shè)平面BCD，則可�。�0，0，1），
∴，
所以，平面BEF與平面BCD所成的銳二面角為45°．
方法二（幾何法）：
延長(zhǎng)EF，交CD的延長(zhǎng)線于G，連接BG，
過E作EH⊥BC于H，則EH⊥平面BCD，
過H作HK⊥BG于K，連接EK，則EK⊥BG，
∴∠EKH即為所求二面角的平面角．
∵，
∴，
在Rt△BCD中，可以解得，
∴在Rt△BCD中，∠EKH=45°，即平面BEF與平面BCD所成的銳二面角為45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是將條件，根據(jù)平行線分線段成比例定理，轉(zhuǎn)化為EF∥CD，（2）中方法一的關(guān)鍵是將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，方法二的關(guān)鍵是確定∠EKH即為所求二面角的平面角．