Question

已知圓x²+y²-2y=0上任一點(diǎn)p（x，y）
（1）求2x+y的取值范圍
（2）若x+y+c≥0恒成立，求實(shí)數(shù)c的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)2x+y=t，由于點(diǎn)p（x，y）在圓上，因此求2x+y的取值范圍?圓心C到直線的距離d≤r，利用點(diǎn)到直線的距離求出即可；
（2）由于點(diǎn)p（x，y）在圓上，因此x+y+c≥0恒成立?c≥[-（x+y）]_max，點(diǎn)p（x，y）滿足圓的方程．設(shè)s=-（x+y），則利用點(diǎn)到直線的距離求出圓心到直線的距離d≤r，解出即可．

解答：解：（1）由圓x²+y²-2y=0可化為x²+（y-1）²=1，圓心為C（0，1），半徑r=1．
設(shè)2x+y=t，則y=-2x+t．
∵直線y=-2x+t與圓有公共點(diǎn)，∴圓心C（0，1）到直線的距離d=

|1-t|

(-2)2+12

≤1，解得1-

5

≤t≤1+

5

．
因此2x+y的取值范圍是[1-

5

，1+

5

]．
（2）點(diǎn)p（x，y）在圓上，x+y+c≥0恒成立?c≥[-（x+y）]_max，點(diǎn)p（x，y）滿足圓的方程．
設(shè)s=-（x+y），則y=-x-s，∵點(diǎn)p（x，y）在圓上，
∴圓心C（0，1）到直線的距離d≤r，即

|1+s|

2

≤1，解得-

2

-1≤s≤

2

-1，
∴s的最大值為

2

-1，因此c≥

2

-1．
故c的最小值為

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：正確把求取值范圍轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d≤r是解題的關(guān)鍵．