Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=6a₁，且對n∈N^*，點（n，a_n）恒在直線f（x）=2x+k上，其中k為常數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，求T₂₀的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得k=0，即可求得結論；
（2）由（1）得得{a_n}是公差為2，首項為2的等差數(shù)列，

1

sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項相消法求和．

解答： 解：（1）∵S₃=6a₁，對n∈N^*，點（n，a_n）恒在直線f（x）=2x+k上，其中k為常數(shù)．
∴a₂+a₃=5a₁，即2×2+k+2×3+k=5（2+k），解得k=0，
∴a_n=2n．
（2）由（1）得{a_n}是公差為2，首項為2的等差數(shù)列，
s_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n，
∴

1

sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴T₂₀=

20

21

．

點評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的關系的運用及等差數(shù)列的求和公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和知識，屬于較基礎題．