Question

已知函數(shù)f（x）=x²-16x+c+3，
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)c的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由（注：[a，b]的區(qū)間長度為b-a）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）的圖象與性質(zhì)，得出f（x）=0在[-1，1]上有零點時，根據(jù)f（-1）f（1）＜0，求出a的取值范圍；
（Ⅱ）討論t的取值，求出f（x）在[t，4]的最值，得出值域以及區(qū)間長度d，令12-t=d，解出t的值，判定是否滿足條件即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²-16x+c+3的對稱軸為 x=8，f（x）在[-1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，
則有f（-1）f（1）=（20+c）（-12+c）＜0，解得-20＜c＜12．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=x²-16x+c+3的對稱軸為 x=8，
當(dāng)t≤8時，f（x）在[t，10]的最小值是f（8）=c-61，若最大值是f（10）=c-57，
∴值域是[c-61，c-57]；區(qū)間長度為（c-57）-（c-61）=4，
令12-t=4，解得t=8，滿足條件．
若最大值為f（t）=t²-16t+c+3，則值域是[c-61，t²-16t+c+3]；區(qū)間長度為（t²-16t+c+3）-（c-61）=12-t，
求得t=

15+ 17

2

 （舍去），或t=

15- 17

2

，故t=

15- 17

2

滿足條件．
當(dāng)8＜t＜10時，f（x）在[t，10]的最小值是f（t）=t²-16t+c+3，最大值是f（10）=c-57，
∴值域是[t²-16t+c+3，c-57]；區(qū)間長度為（c-57）-（t²-16t+c+3）=-t²+16t-60，
令12-t=-t²+16t-60，解得t=8（舍去），或 t=9．
綜上可得，存在t=8、t=

15- 17

2

、t=9 滿足條件．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用以及分類討論的問題，是易錯題．