Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（1）若a=1時(shí)函數(shù)f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³+x²-x+m，f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，即m=-x³-x²+x有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值，從而可得m的取值范圍；
（2）要使函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，只需f′（x）=0在（-1，1）上沒有實(shí)根即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，
∴f（x）=x³+x²-x+m=0，即m=-x³-x²+x有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根．
令g（x）=-x³-x²+x，則g′（x）=-（3x-1）（x+1）
令g′（x）＞0，可得-1＜x＜

1

3

；令g′（x）＜0，可得x＜-1或x＞

1

3

，
∴g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）上為減函數(shù)，在（-1，

1

3

）上為增函數(shù)，
∴g（x）_極小=g（-1）=-1，g（x）_極大=g（

1

3

）=

5

27

∴m的取值范圍是（-1，

5

27

）    …（6分）
（2）由題設(shè)可知，方程f′（x）=3x2+2ax-a2=0在[-1，1]上沒有實(shí)數(shù)根，
∴

f′(1)=3+2a-a2＜0 f′(-1)=3-2a-a2＜0 a＞0

，解得a＞3       …（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，還考查了變量分離的思想方法，屬于中檔題．