Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+n．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（II）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=n²+n．n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=n²+n．n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，n=1時(shí)也成立．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和方法”、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．