Question

19．關(guān)于f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）有以下命題，
①若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=kπ（k∈Z）；
②f（x）圖象與g（x）=3cos（2x-$\frac{π}{4}$）圖象相同；
③f（x）在區(qū)間[-$\frac{7π}{8}$，-$\frac{3π}{8}$]是減函數(shù)；
④f（x）圖象關(guān)于點（-$\frac{π}{8}$，0）對稱．
其中正確的命題序號是（　�。�

• A． ②③④
• B． ①④
• C． ①②③
• D． ②③

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角函數(shù)的周期以及三角函數(shù)的零點定義進行求解判斷，
②根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進行判斷，
③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行求解，
④根據(jù)三角函數(shù)的對稱性的性質(zhì)進行判斷．

解答 解：①∵f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）的周期為$T=\frac{2π}{2}$=π，∴f（x₁）=f（x₂）=0時，x₁-x₂是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍，故①錯誤，
②函數(shù)解析式$y=3sin（2x+\frac{π}{4}）=3cos（2x+\frac{π}{4}-\frac{π}{2}）$，即$y=3cos（2x-\frac{π}{4}）$，故②正確，
③由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，
當(dāng)k=-1時，-$\frac{7π}{8}$≤x≤-$\frac{3π}{8}$，即函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是[-$\frac{7π}{8}$，-$\frac{3π}{8}$]，故③正確，
④當(dāng)$x=-\frac{π}{8}$時，$y=3sin（-\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）$=0，∴函數(shù)圖象關(guān)于點$（-\frac{π}{8}，0）$對稱，故④正確，
故正確是②③④，
故選：A．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性以及對稱性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．