Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+x-6在（-∞，+∞）上既有極大值又有極小值，則a的取值范圍為$a＜\frac{1}{3}$且a≠0．

Answer 1

分析 求出導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)既有極大值，又有極小值，導函數(shù)為0的方程有不等的實數(shù)根，可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax³-x²+x-6，
則導函數(shù)：f′（x）=3ax²-2x+1，
∵函數(shù)f（x）=ax³-x²+x-6既有極大值又有極小值，
∴a≠0，且△=4-12a＞0，∴$a＜\frac{1}{3}$且a≠0．
故答案為：$a＜\frac{1}{3}$且a≠0．

點評 本題的考點是函數(shù)在某點取得極值的條件，主要考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)為0的方程有不等的實數(shù)根．