Question

7．已知拋物線E：y²=4x的焦點為F，過點M（2，0）的直線l與拋物線E相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，
（1）若x₁+x₂=8，求直線l的方程；
（2）設(shè)直線AF、BF分別交拋物線E于點C、D．
    （Ⅰ）記直線AD、BC的斜率分別為k₁、k₂，求k₁k₂的值；
    （Ⅱ）問△AFB與△CFD的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)過點M（2，0）的直線l為y=k（x-2），代入拋物線方程，運用韋達(dá)定理，可得斜率，即可得到直線方程；
（2）（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AF的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），代入拋物線方程，可得C的坐標(biāo)，同理可得D的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式計算，即可得到所求值；
（Ⅱ）拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，由拋物線的定義：到焦點的距離即為到準(zhǔn)線的距離．運用三角形的面積公式：S=$\frac{1}{2}$absinC，計算即可得到定值．

解答 解：（1）設(shè)過點M（2，0）的直線l為y=k（x-2），
代入拋物線方程，可得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，
即有x₁+x₂=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$=8，解得k=±1，
則直線l的方程為y=±（x-2）；
（2）（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴AF的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），
設(shè)k₀=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$，則AF：y=k₀（x-1），
與拋物線方程聯(lián)立，可得k₀²x²-（2k₀²+4）x+k₀²=0，
利用韋達(dá)定理x₃x₁=1，
∴x₃=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴y₃=k₀（x₃-1）=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
即C（$\frac{1}{{x}_{1}}$，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），
同理D（$\frac{1}{{x}_{2}}$，-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）
由k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，可得x₁x₂=4，y₁y₂=-8，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-\frac{1}{{x}_{2}}}$=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{y}_{2}}{3}$，k₂=$\frac{{y}_{2}+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{1}}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}}{3}$，
即有k₁k₂=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}+{x}_{1}{{y}_{2}}^{2}+{x}_{2}{{y}_{1}}^{2}}{9}$
=$\frac{-32-8+4{x}_{1}{x}_{2}+4{x}_{1}{x}_{2}}{9}$=-$\frac{8}{9}$；
 （Ⅱ）拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，
由拋物線的定義：到焦點的距離即為到準(zhǔn)線的距離．
則$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{\frac{1}{2}AF•BF•sin∠AFB}{\frac{1}{2}CF•DF•sin∠CFD}$=$\frac{AF•BF}{CF•DF}$=$\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}{（\frac{1}{{x}_{1}}+1）（\frac{1}{{x}_{2}}+1）}$
=x₁x₂=4．
故△AFB與△CFD的面積之比為定值4．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，同時考查直線的斜率公式和三角形的面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．