【題目】已知兩個函數(shù)，

（Ⅰ）當時，求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅱ）求證：對任意，不等式都成立．

【答案】（Ⅰ）分類討論，詳見解析；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）利用導數(shù)得出在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，然后分和兩種情況討論

（Ⅱ）求出的最小值和的最大值，將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)最值之間大小關(guān)系的判斷即可.

（Ⅰ）由得：

∴當時，，當時，

∴在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)

①當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，

的最大值為

②當時，

在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)

∴的最大值為

下面比較與大小

∵

∴當時，，

故在區(qū)間上的最大值為

當時，，

在區(qū)間上的最大值為

綜上可知：當時，在區(qū)間上的最大值為

當時，在區(qū)間上的最大值為

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)

所以當時，

又由得：

∴當時，，當時，

∴在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)

所以當時，

綜上可知，當時，不等式恒成立．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的零點；

（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點，求證：；

（3）若，且不等式對一切正實數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是雙紐線上一點，下列說法中正確的有（ ）

①雙紐線經(jīng)過原點； ②雙紐線關(guān)于原點中心對稱；

③； ④雙紐線上滿足的點有兩個.

A.①②B.①②③C.②③D.②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，且曲線關(guān)于直線對稱．

（1）求；

（2）若直線與曲線交于，，直線：與曲線交于，，且的面積不超過，求直線的傾斜角的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法中正確的是（ ）

A.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測數(shù)據(jù)，其線性回歸方程是，且，則實數(shù)的值是

B.正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率相等

C.若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1

D.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），在極坐標系（與平面直角坐標系取相同的單位長度，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸）中，曲線的極坐標方程為.

（1）若可，試判斷曲線和的位置關(guān)系；

（2）若曲線與交于點，兩點，且，滿足.求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）當a=-2時，求函數(shù)f(x)的極值；

（2）若ln[e(x+1)]≥2- f(-x)對任意的x∈[0，+∞)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號是

A. ①B. ②C. ①②D. ①②③

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽粒，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原．如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為2的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的表面積為________；該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為________．

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