Question

14．已知點(diǎn)F是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，3），則|PQ|+|PF|的最大值為5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F′（1，0），由已知條件推導(dǎo)出|PQ|+|PF|=|PQ|+2$\sqrt{2}$-|PF′|，利用Q，F(xiàn)′，P共線
，可得|PQ|+|PF|取最大值．

解答 解：∵點(diǎn)F為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦點(diǎn)，∴F（-1，0），
∵點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，3），
設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F′（1，0），
∴|PQ|+|PF|=|PQ|+2$\sqrt{2}$-|PF′|
=2$\sqrt{2}$+|PQ|-|PF′|，
∵|PQ|-|PF′|≤|QF′|=3$\sqrt{2}$，
∴|PQ|+|PF|≤5$\sqrt{2}$，即最大值為5$\sqrt{2}$，此時(shí)Q，F(xiàn)′，P共線
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．