Question

3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y²=2px（p＞0）上，且O為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)F滿足$\overrightarrow{\begin{array}{l}{FA}\end{array}}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$，若BC邊上的中線所在直線l的方程為mx+ny-m=0（m，n為常數(shù)且m≠0），記△OFA、△OFB、△OFC的面積分別記為S₁、S₂、S₃，則S₁²+S₂²+S₃²的值為3．

Answer 1

分析 通過設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），取BC邊上的中點(diǎn)M，利用$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$可知$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{AM}$即點(diǎn)F在直線l上，進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0）、拋物線方程為y²=4x，通過$\overrightarrow{\begin{array}{l}{FA}\end{array}}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$可知x₁+x₂+x₃=3，利用S₁²+S₂²+S₃²=$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{1}|）^{2}$+$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{2}|）^{2}$+$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{3}|）^{2}$計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），
∵$\overrightarrow{\begin{array}{l}{FA}\end{array}}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$，
取BC邊上的中點(diǎn)M，則$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{AM}$，
∴點(diǎn)F在直線l上，
在mx+ny-m=0中令y=0得x=1，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），
∴拋物線方程為：y²=4x，
∵$\overrightarrow{\begin{array}{l}{FA}\end{array}}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$，
∴x₁+x₂+x₃=3且${{y}_{i}}^{2}$=4x_i（i=1、2、3、4），
∴S₁²+S₂²+S₃²=$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{1}|）^{2}$+$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{2}|）^{2}$+$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{3}|）^{2}$
=$\frac{1}{4}$（${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}$）
=$\frac{1}{4}$•4（x₁+x₂+x₃）
=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．