Question

設(shè)a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N^*）都是正數(shù)，且a₁a₂a_3^•…a_n⁼¹，試用數(shù)學歸納法證明：a₁+a₂+a_3⁺…+a_n≥n．

Answer 1

證明：①當n=1時，不等式成立
②假設(shè)當n=k-1時成立，則當n=k時，考慮等式a₁a₂a_3^•…•a_k=1
若a₁，a₂，a₃，…，a_k相同，則都為1，不等式得證
若a₁，a₂，a₃，…，a_k不全相同，則a₁，a₂，a₃，…，a_k的最大數(shù)和最小數(shù)不是同一個數(shù)
不妨令a₁為a₁，a₂，a₃，…，a_k的最大數(shù)，a₂為a₁，a₂，a₃，…，a_k的最小數(shù)．
則∵a₁a₂a_3^•…•a_k=1，∴最大數(shù)a₁≥1，最小數(shù)a₂≤1
現(xiàn)將a₁a₂看成一個數(shù)，利用歸納假設(shè)，有a₁a₂+a₃+…+a_k≥k-1…（1）
由于a₁≥1，a₂≤1，所以（a₁-1）（a₂-1）≤0
所以a₁a₂≤a₁+a₂-1…（2）
將（2）代入（1），得
（a₁+a₂-1）+a₃+…+a_k≥k-1，即a₁+a₂+a₃+…+a_k≥k
∴當n=k時，結(jié)論正確
綜上可知，a₁+a₂+a₃+…+a_n≥n．