Question

四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點，ABCE為菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G、F分別是線段CE、PB的中點．

(Ⅰ) 求證：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求二面角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)二面角的正切值為．

試題分析：（Ⅰ）連結BD，因為E是AD的中點是CＥ的中點，所以ＢＤ過點，這樣只需證即可；（Ⅱ）求二面角的正切值，需找出平面角，注意到PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是線段PB的中點，取的中點，則⊥平面ABCD，過作，垂足為，則即為二面角的平面角．
試題解析：（Ⅰ）證明：連結，因為E是AD的中點，是CＥ的中點，且ABCE為菱形，，，所以過點，且是的中點，在中，又因為是的中點，，又平面，平面 ；
（Ⅱ）取的中點，因為是的中點，，又因為平面，平面，過作，垂足為，連結，則即為二面角的平面角，
不妨令，則，有平面幾何知識可知，，所以二面角的正切值為 ．