如圖,直三棱柱中,AB=BC,,Q是AC上的點(diǎn),AB1//平面BC1Q.

(Ⅰ)確定點(diǎn)Q在AC上的位置;
(Ⅱ)若QC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為,求二面角Q-BC1—C的余弦值.
(Ⅰ)Q為AC的中點(diǎn); (Ⅱ)二面角Q-BC1-C的余弦值為

試題分析:(Ⅰ)借助直線AB1∥平面BC1Q,利用面面平行的性質(zhì)定理可知AB1∥PQ,然后確定點(diǎn)Q的位置;(Ⅱ)利用空間向量的方法求解,分別求出面BC1C的法向量為m=(1,0,0)和 平面C1BQ的法向量n=(1,-,2),然后利用向量的夾角公式計(jì)算二面角Q-BC1-C的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)連接B1C交BC1于點(diǎn)P,連接PQ.
因?yàn)橹本AB1∥平面BC1Q,AB1Ì平面AB1C,平面BC1Q∩平面AB1C=PQ,
所以AB1∥PQ.
因?yàn)镻為B1C的中點(diǎn),且AB1∥PQ,
所以,Q為AC的中點(diǎn).      
(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=BC=a,BB1=b,則
面BC1C的法向量為m=(1,0,0).
B(0,0,0),C1(0,a,b),Q(a, a,0),
=(0,a,b),=(-a, a,b).
因QC1與面BC1C所成角的正弦值為,
,解得b=a.
設(shè)平面C1BQ的法向量n=(x,y,z),則
取n=(1,-,2).
所以有cosám,nñ=
故二面角Q-BC1-C的余弦值為
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