18、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G為棱AD、AB、A1A的中點(diǎn).
(1)求證:平面EFG∥平面CB1D1;
(2)求證:平面CAA1C1⊥平面CB1D1;
(3)求異面直線FG、B1C所成的角.
分析:(1)連接BD,根據(jù)三角形中位線定理,結(jié)合正方體的幾何特征,我們易得EF∥B1D1,同理可得GE∥B1C,進(jìn)而根據(jù)面面平行的判定定理即可得到平面EFG∥平面CB1D1
(2)根據(jù)正方體的幾何特征,我們可得A1A⊥B1D1,A1C1⊥B1D1,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理,可得B1D1⊥平面CAA1C1,再由面面垂直的判定定理,即可得到平面CAA1C1⊥平面CB1D1;
(3)根據(jù)(1)中結(jié)論GE∥B1C,我們易得∠EGF即為異面直線FG、B1C所成的角,解三角形GEF即可得到答案.
解答:解:(1)連接BD,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,
對(duì)角線BD∥B1D1,
又∵E、F為棱AD、AB的中點(diǎn).
∴EF∥BD
∴EF∥B1D1,
同理可證:GE∥B1C,
又∵EF∩GE=E,B1D1∩B1C=B1
∴平面EFG∥平面CB1D1;
(2)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,
A1A⊥平面A1B1C1D1,而B1D1?平面A1B1C1D1,
∴A1A⊥B1D1
又∵在正方體A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1
A1A∩A1C1=A1,
∴B1D1⊥平面CAA1C1
又∵B1D1?平面CB1D1,
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1;
(3)由(1)得GE∥B1C,
故∠EGF即為異面直線FG、B1C所成的角
由正方體的幾何牲易得EF=EG=FG
∴△EGF為等邊三角形,∠EGF=60°
即異面直線FG、B1C所成的角為60°
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面平行的判定,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定,其中熟練掌握正方體的幾何特征,分析出其中線段的平行和垂直關(guān)系,結(jié)合面面平行及面面垂直的判定定理,對(duì)結(jié)論進(jìn)行論證是解答本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)若Rt△ABC中兩直角邊為a、b,斜邊c上的高為h,則
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
,如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,記M=
1
PO2
,N=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
,那么M、N的大小關(guān)系是
 

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精英家教網(wǎng)如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,記M=
1
PO2
N=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
,那么M,N的大小關(guān)系是
 

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精英家教網(wǎng)若Rt△ABC中兩直角邊為a、b,斜邊c上的高為h,則
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
,如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,類比平面幾何中的結(jié)論,得到此三棱錐中的一個(gè)正確結(jié)論為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),
(1)求證:AC⊥平面D1DB;
(2)BD1∥平面ABC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),則三棱錐P-ABC的主視圖與左視圖的面積的比值為( 。

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