Question

（2013•杭州一模）已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，過坐標(biāo)原點O作曲線y=f_（x）的切線，設(shè)切點為P（m，n），求實數(shù)m的值；
（Ⅲ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點P（x₀，y₀）處的切線方程為l：y=h（x），當(dāng)x≠x₀時，若

g(x)-h(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=g（x）的“轉(zhuǎn)點”．當(dāng)a=8時，試問函數(shù)y=f_（x）是否存在“轉(zhuǎn)點”．若存在，請求出“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可得單調(diào)區(qū)間，可得極小值；
（Ⅱ）把a(bǔ)=-1代入，可得切線斜率，由斜率公式還可得斜率，由等式可得m=1是唯一的實數(shù)解；
（Ⅲ）針對新定義，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-h（x），求其導(dǎo)數(shù)，分0＜x₀＜2，x₀＞2，x₀=2三種情況進(jìn)行討論，可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，…2分
當(dāng)0＜x＜

1

2

時，f′（x）＞0；當(dāng)

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0．
所以當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取極小值f（1）=-2，…5分；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，f′（x）=2x-1-

1

x

（x＞0），所以切線的斜率
k=2m-1-

1

m

=

2m2-m-1

m

=

n

m

=

m2-m-lnm

m

，整理可得m²+lnm-1=0，
顯然m=1是方程的解，又因為函數(shù)y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以方程有唯一的實數(shù)解，即m=1，…10分；
（Ⅲ）當(dāng)a=8時，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，y₀）處的切線方程為：
h（x）=(2x0+

8

x0

-10)(x-x0)+x02-10x0+8lnx0，
設(shè)F（x）=f（x）-h（x），則F（x₀）=0，F(xiàn)′（x）=f′（x）-h′（x）
=（2x+

8

x

-10）-（2x0+

8

x0

-10）=

2

x

（x-x₀）（x-

4

x0

）
若0＜x₀＜2，F(xiàn)（x）在（x₀，

4

x0

）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（x₀，

4

x0

）時，
F（x）＜F（x₀）=0，此時

F(x)

x-x0

＜0，
若x₀＞2，F(xiàn)（x）在（

4

x0

，x₀）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（

4

x0

，x₀）時，
F（x）＞F（x₀）=0，此時

F(x)

x-x0

＜0，
所以y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“轉(zhuǎn)點”，
若x₀=2時，F(xiàn)′（x）=

2

x

(x-2)2，即F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＞x₀時，F(xiàn)（x）＞F（x₀）=0，當(dāng)x＜x₀時，F(xiàn)（x）＜F（x₀）=0，
故點P（x₀，f（x₀））為“轉(zhuǎn)點”，
故函數(shù)y=f（x）存在“轉(zhuǎn)點”，且2是“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo)，…15分

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，涉及新定義，屬中檔題．