Question

如圖，在三棱錐C-ABD中，AC⊥CB，AC=CB，E為AB的中點(diǎn)，AD=DE=EC=2，CD=2

2

．
（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直線BD與平面CAD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出CE⊥DE，CE⊥AB，由此能證明CE⊥平面ABD，從而得到平面ABC⊥平面ABD．
（Ⅱ）以E點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線DB與平面ADE所成角的正弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：在△CDE中，CD=2

2

， DE=EC=2，
∴DE2+EC2=22+22=8， CD2=(2

2

)2=8，
∴CD²=DE²+EC²，
則△CDE為直角三角形，
所以，CE⊥DE．
又由已知AC⊥BC，AC=BC，
且E是AB的中點(diǎn)，得CE⊥AB．
又AB∩DE=E，∴CE⊥平面ABD
又CE?面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD．（6分）
（Ⅱ）解：以E點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，2），B（0，2，0），A(0，-2，0)，D(

3

， -1，0)，

DB

=(-

3

， 3，0)， 

AC

=(0，2，2)， 

DC

=(-

3

，1，2)．
設(shè)平面ACD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則有

n • DC =0 n • AC =0

，即

- 3 x+y+2z=0 2y+2z=0

，
解得：z=

3

x，  y=-z，
所以，平面ACD的一個(gè)法向量為

n

=(1，-

3

，

3

)，
cos＜

n

•

DB

＞=

DB • n

| DB |•| n |

=

- 3 -3 3

12 • 7

=-

2 7

7

，
故直線DB與平面ADE所成角的正弦值為

2 7

7

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．