Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，E是SD的中點(diǎn)，．
（1）證明：SB∥平面ACE；
（2）求二面角A-SB-C的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)F在側(cè)棱SC上，∠ABF=60°，求．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中SD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，易得DA，DC，DS兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DS分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．求出向量，的坐標(biāo)，易得與平行，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到SB∥平面ACE；
（2）求出平面CBS的一個(gè)法向量和平面ABS的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，易求出二面角A-SB-C的余弦值；
（3）設(shè)=λ（λ＞0），由已知中∠ABF=60°，我們可根據(jù)向量夾角公式，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到．
解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，
∴DA，DC，DS兩兩垂直，
如圖以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DS分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則D（0，0，0），B（，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），
又∵E是SD的中點(diǎn)，
∴E（0，0，1）
證明：（1）連接BD，與AC相交于點(diǎn)O，連接EO
所以O(shè)（，1，0）
∵=（，1，-1），=（，2，-2），
∴=2
∴SB∥EO
∵EO?平面ACE，SB?平面ACE，
∴SB∥平面ACE；
解：（2）設(shè)=（a，b，c）是平面CBS的一個(gè)法向量，則•=0，•=0
∵=（-，0，0），=（0，2，-2）
∴，令b=1，則=（0，1，1）
同理可得=（，0，-2）是平面ABS的一個(gè)法向量，
則鈍二面角A-SB-C的夾角θ，則
|cosθ|==
∴二面角A-SB-C的余弦值是-
證明：（3）設(shè)=λ（λ＞0）
則F（0，，），=（，，），
又∵=（0，-2，0），=∠ABF=60°，
故=•cos60°
即=
解得λ=1
∴=1
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系，其中（1）的關(guān)鍵是證得向量與平行，（2）中易忽略二面角A-SB-C為鈍二面角，而錯(cuò)解為，（3）的關(guān)鍵是根據(jù)向量夾角公式，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的方程．