Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrowxn5pxhf$為非零向量，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=$\overrightarrowbbfbv7x$，求證|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|?$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrowbz93jdt$，并解釋其幾何意義．

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的充要條件及數(shù)量積的運(yùn)算便可由$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$得出$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowrrxrxjp$，反過(guò)來(lái)由$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow777p1p5$可以得出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，這樣便證出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|?\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowlbnbrbt$，而由向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則即可說(shuō)明該結(jié)論的幾何意義．

解答 證明：（1）若$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，則：
$\overrightarrow{c}•\overrightarrowtrnfzdr=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}=0$；
∴$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowxpvx3jr$；
（2）若$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowxr37rz9$，則：$\overrightarrow{c}•\overrightarrowvrh5tf5=0$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}=0$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow}^{2}$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$；
∴綜上得，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|?\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowfvxrlvh$；
其幾何意義為菱形的對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形．

點(diǎn)評(píng) 考查充要條件的證明方法和過(guò)程，向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則，菱形的性質(zhì)．