Question

1．設向量$\overrightarrow{a}$=（4cosα，sinα），$\overrightarrow$=（sinβ，4cosβ），$\overrightarrow{c}$=（cosβ，-4sinβ）
（]）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求證：$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$．

Answer 1

分析 （1）根據向量垂直得出數量積為0，列出方程，使用三角函數恒等變換化簡；
（2）求出（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）²，利用三角函數的性質得出（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）²的最大值；
（3）根據tanαtanβ=16得出sinαsinβ=16cosαcosβ，故而$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$．

解答 解：（1）$\overrightarrow-2\overrightarrow{c}$=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），
若$\overrightarrow{a}⊥$（$\overrightarrow-2\overrightarrow{c}$），則$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-2\overrightarrow{c}）$=0，即4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0．
∴4cosαsinβ+4sinαcosβ-8cosαcosβ+8sinαsinβ=0，
即sin（α+β）=2cos（α+β），
∴tan（α+β）=2．
（2）$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）²=（sinβ+cosβ）²+（4cosβ-4sinβ）²=17-30sinβcosβ=17-15sin2β．
∴當sin2β=-1時，（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）²取得最大值32．
∴|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|的最大值是4$\sqrt{2}$．
（3）∵tanαtanβ=16，∴sinαsinβ=16cosαcosβ．
∴16cosαcosβ-sinαsinβ=0．
∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$．

點評 本題考查了平面向量的數量積與向量垂直，平行的關系，三角函數的恒等變換，屬于中檔題．