Question

（2013•石景山區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：①對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；
②由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值求出a的值，再依據(jù)不等式恒成立時(shí)所取的條件，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）在區(qū)間（0，+∞）上，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．…（1分）
①若a≤0，則f′（x）＜0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)；     …（3分）
②若a＞0，令f^′（x）=0得x=

1

a

．
在區(qū)間（0，

1

a

）上，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
在區(qū)間(

1

a

，+∞)上，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
綜上所述，①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞），無遞增區(qū)間；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是(

1

a

，+∞)，遞減區(qū)間是(0，

1

a

)．…（6分）
（II）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=1處取得極值，所以f^′（1）=0
解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意．…（7分）
由已知f（x）≥bx-2，則

x-1-lnx

x

≥b       …（8分）
令g(x)=

x-1-lnx

x

=1-

1

x

-

lnx

x

，則g′(x)=-

1

x2

-

1-lnx

x2

=

lnx-2

x

      …（10分）
易得g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，…（12分）
所以g（x）_min=g(e2)=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．                   …（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．
會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．