Question

12．從集合A={1，2，3，…，2n+1}中，任取m（m≤2n+1，m，n∈N^*）個(gè)元素構(gòu)成集合A_m，若A_m的所有元素之和為偶數(shù)，則稱(chēng)A_m為A的偶子集，其個(gè)數(shù)記為f（m）；若A_m的所有元素之和為偶數(shù)，則稱(chēng)A_m為A的奇子集，其個(gè)數(shù)記為g（m），令F（m）=f（m）-g（m）
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求F（1），F(xiàn)（2），F(xiàn)（3）的值；
（2）求F（m）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=3時(shí)，集合A={1，2，3，4，5，6，7}，當(dāng)m=1時(shí)，求出f（1）=3，g（1）=4，從而求出F（1）；當(dāng)m=2時(shí)，求出f（2）=9，g（2）=12，從而求出F（2）；當(dāng)m=3時(shí)，求出f（3）=19，g（3）=16，從而求出F（3）．
（2）A中共有n個(gè)偶數(shù)，n+1個(gè)奇數(shù)，偶子集的個(gè)數(shù)f（m）=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}+{C}_{n}^{n-2}{C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{m-4}{C}_{n+1}^{4}$+…+${{C}_{n}^{1}C}_{n+1}^{m-1}$，奇子集的個(gè)數(shù)g（m）=${C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{n-3}{C}_{n+1}^{3}$+${C}_{n}^{m-5}{C}_{n+1}^{5}$+…+${C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，從而F（m）=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}-{C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{m-2}{C}_{n+1}^{2}$-${C}_{n}^{m-3}{C}_{n+1}^{3}$+…+${C}_{n}^{1}{C}_{n+1}^{m-1}-{C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，再求出（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹中xⁿ的系數(shù)和（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹=（1-x）（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ=（1-x）（1-x²）ⁿ的展開(kāi)式，由此能求出F（m）．

解答 解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，集合A={1，2，3，4，5，6，7}，
當(dāng)m=1時(shí)，偶子集有{2}，{4}，{6}，奇子集有{1}，{3}，{5}，{7}，
f（1）=3，g（1）=4，∴F（1）=-1．
當(dāng)m=2時(shí)，偶子集有${C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}$（2個(gè)數(shù)全是偶數(shù)或全是奇數(shù)），f（2）=9，
奇子集有${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}$（1偶1奇），g（2）=12，∴F（2）=-3．
當(dāng)m=3時(shí)，偶子集有${C}_{3}^{3}+{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}$（3個(gè)數(shù)全是偶數(shù)或1偶2奇），f（3）=19，
奇子集有${C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}$+${C}_{4}^{3}$（2偶1奇或3奇），g（3）=16，∴F（3）=3．
（2）A中共有n個(gè)偶數(shù)，n+1個(gè)奇數(shù)，此時(shí)：
偶子集的個(gè)數(shù)f（m）=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}+{C}_{n}^{n-2}{C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{m-4}{C}_{n+1}^{4}$+…+${{C}_{n}^{1}C}_{n+1}^{m-1}$，
奇子集的個(gè)數(shù)g（m）=${C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{n-3}{C}_{n+1}^{3}$+${C}_{n}^{m-5}{C}_{n+1}^{5}$+…+${C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，
∴F（m）=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}+{C}_{n}^{m-2}{C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{m-4}{C}_{n+1}^{4}$+…+${C}_{n}^{4}{C}_{n+1}^{m-1}$-（${C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{m-3}{C}_{n+1}^{3}$+…+${C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$）
=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}-{C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{m-2}{C}_{n+1}^{2}$-${C}_{n}^{m-3}{C}_{n+1}^{3}$+…+${C}_{n}^{1}{C}_{n+1}^{m-1}-{C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，
一方面，（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹=（${C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}x+…+{C}_{n}^{n}{x}^{n}$）（${C}_{n+1}^{0}-{C}_{n+1}^{1}x+…+（-1）^{n+1}{C}_{n+1}^{n+1}{x}^{n+1}$），
∴（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹中xⁿ的系數(shù)為：
${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}-{C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}$+${{C}_{n}^{m-2}C}_{n+1}^{2}$-${C}_{n}^{m-3}{C}_{n+1}^{3}+…+{C}_{n}^{1}{C}_{n+1}^{m-1}-{C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，
另一方面，（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹=（1-x）（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ=（1-x）（1-x²）ⁿ的展開(kāi)式中，
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，為得到x^m，則應(yīng)由（1-x）提供因數(shù)-x，（1-x²）ⁿ提供x^m-1，
∴x^m的系數(shù)為（-1）（-1）${\;}^{\frac{m-1}{2}}$C${\;}_{n}^{\frac{m-1}{2}}$=（-1）${\;}^{\frac{m+1}{2}}$${C}_{n}^{\frac{m-1}{2}}$，
故F（m）=（-1）${\;}^{\frac{m+1}{2}}$${C}_{n}^{\frac{m-1}{2}}$．
當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，為得到x^m，則應(yīng)由（1-x）提供因數(shù)1，（1-x²）ⁿ提供x^m，
∴x^m的系數(shù)為$（-1）^{\frac{m}{2}}{C}_{n}^{\frac{m}{2}}$，∴F（m）=$（-1）^{\frac{m}{2}}{C}_{n}^{\frac{m}{2}}$．
綜上，F(xiàn)（m）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{\frac{m+1}{2}{C}_{n}^{\frac{m-1}{2}}，n為奇數(shù)}}\\{（-1）^{\frac{m}{2}{C}_{n}^{\frac{m}{2}}，n為偶數(shù)}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，考查集合、二項(xiàng)式定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想，是難題．