Question

已知奇函數(shù) f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集 R，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對(duì)所有的θ∈[0，

π

2

]均成立？若存在，求出所有適合條件的實(shí)數(shù)m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,存在型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可得到函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，且f（0）=0，原不等式可化為f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可轉(zhuǎn)化為t∈[0，1]時(shí)，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立，將m分離出來(lái)利用基本不等式即可求出m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，
則f（x）在R上為增函數(shù)，且f（0）=0，
所以原不等式可化為f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）=f（2mcosθ-4m），
∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立．
由t²-mt+2m-2＞0，t∈[0，1]，得m＞

2-t2

2-t

=t-2+

2

t-2

+4，t∈[0，1]時(shí)，
令h（t）=（2-t）+

2

2-t

，即當(dāng)且僅當(dāng)t=2-

2

時(shí)，h（t）取得最小值2

2

，
故m＞（t-2+

2

t-2

+4）_max=4-2

2

．
即存在這樣的m，且m∈（4-2

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用基本不等式求最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．