Question

已知直線l：3x-y+3=0，求：
（1）點(diǎn)P（4，5）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；
（2）直線x-y-2=0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y）關(guān)于直線l：3x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x′，y′），利用垂直、平分列出方程組，把點(diǎn)P（4，5）代入方程組，求出關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；
（2）利用（1）的結(jié)論，方程組中的x′，y′分別代換x-y-2=0中的x，y，可求直線x-y-2=0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）關(guān)于直線l：3x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x′，y′）．
∵k_PP′•k₁=-1，即

y′-y

x′-x

×3=-1．①
又PP′的中點(diǎn)在直線3x-y+3=0上，
∴3×-+3=0．②
由①②得

x′= -4x+3y-9 5 ③ y′= 3x+4y+3 5 ④

把x=4，y=5代入③及④得x′=-2，y′=7，
∴P（4，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-2，7）．
（2）用③④分別代換x-y-2=0中的x，y，得關(guān)于l的對(duì)稱直線方程為

-4x+3y-9

5

-

3x+4y+3

5

-2=0，化簡(jiǎn)得7x+y+22=0．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程的求法，注意垂直、平分的利用，以及代換方法，本題是解答對(duì)稱問題的通法，值得反思總結(jié)．