Question

6．若不等式|x-1|+|x+1|≥|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|對任意實數(shù)a≠0恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是{x|x≤-2，或 x≥2}．

Answer 1

分析 利用絕對值三角不等式求得|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|的最大值為4，可得|x-1|+|x+1|≥4，由此分類討論，去掉絕對值，求得實數(shù)x的取值范圍．

解答 解：由于|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|≤|$\frac{1}{a}$+1-（$\frac{1}{a}$-3）|=4，即|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|的最大值為4，
而不等式|x-1|+|x+1|≥|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|對任意實數(shù)a≠0恒成立，
∴|x-1|+|x+1|≥4，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-x-x-1≥4}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{1-x+x+1≥4}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1+x+1≥4}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得x∈∅，解③求得 x≥2，
故原不等式的解集為{x|x≤-2，或 x≥2}，
故答案為：{x|x≤-2，或x≥2}．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．