Question

【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn)，為圓上任意點(diǎn)，且最大值為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若在拋物線上，過(guò)作圓的兩條切線交拋物線于、，求中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)可求得的值，進(jìn)而可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)出、的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，利用圓心到該直線的距離等于圓的半徑可得出關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)而得出、的斜率是該方程的兩個(gè)根，列出韋達(dá)定理，再將方程代入拋物線的方程，求出點(diǎn)、的縱坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于的函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)果.

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為，

所以，，，解得，

因此，拋物線的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)、，

設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為，則，

整理得，

設(shè)、的斜率分別為、，則、是上述方程的兩根，

由韋達(dá)定理得，，

將方程代入拋物線的方程得，

整理得，所以，，，

線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

，則，所以，.

因此，線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是.