Question

8．已知圓心為C的圓經(jīng)過A（-1，-2）和B（0，1），且圓心C在直線y=x-2上．
（1）求圓C的方程；
（2）若過點M（-4，-1）的直線l被圓C所截得的弦長為$\sqrt{10}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設圓的標準方程為（x-a）²+（y-a+2）²=r²，將題中點的坐標代入，解關于a、r的方程組，即可得到圓C的標準方程；
（2）由弦長公式求出圓心C到直線l的距離，再由點到直線的距離公式求出圓心C到直線l的距離，由這兩個距離相等求出直線的斜率，即得直線的方程．

解答 解：（1）由圓心在直線y=x-2上，設圓心C的坐標為（a，a-2），
圓的標準方程為（x-a）²+（y-a+2）²=r²，
可得（-1-a）²+（-2-a+2）²=r²，（0-a）²+（1-a+2）²=r²，
解之得a=1，r²=5，
∴圓C的標準方程為（x-1）²+（y+1）²=5；
（2）圓心C到直線l的距離為$\sqrt{5-（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
當直線l垂直于x軸時，方程為x=-4，不滿足條件，所以直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y+1=k（x+4），即kx-y+4k-1=0，
由$\frac{|k+1+4k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，解得k=±$\frac{1}{3}$，
∴直線l的方程為x-3y+1=0或x+3y+7=0．

點評 本題給出圓心在定直線上的圓經(jīng)過兩個定點，求圓的標準方程，著重考查了圓的標準方程及其應用的知識，點到直線的距離公式的應用，利用點到直線的距離公式求出直線的斜率是解題的關鍵．屬于中檔題．