Question

（2013•徐州三模）已知△ABC的面積為S，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

AB

•

AC

=

3

2

S．
（1）求cosA的值；
（2）若a，b，c成等差數(shù)列，求sinC的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)量積的定義和正弦定理關于面積的公式，化簡題中等式可得sinA=

4

3

cosA，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關系可解出cosA的值；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理化簡得2sinB=sinA+sinC，用三角內(nèi)角和定理進行三角恒等變換得到2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．將（1）中算出的cosA、sinA的值代入，并結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關系，即可求出sinC=

12

13

．

解答：解：（1）∵

AB

•

AC

=

3

2

S，
∴bccosA=

3

2

×

1

2

bcsinA，即sinA=

4

3

cosA．…（2分）
代入sin²A+cos²A=1化簡整理，得cos2A=

9

25

．…（4分）
∵sinA=

4

3

cosA，可得cosA＞0，
∴角A是銳角，可得cosA=

3

5

．…（6分）
（2）∵a，b，c成等差數(shù)列
∴2b=a+c，結(jié)合正弦定理得2sinB=sinA+sinC，
即2sin（A+C）=sinA+sinC，…（8分）
因此，可得2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．①
由（1）得cosA=

3

5

及sinA=

4

3

cosA，所以sinA=

4

5

，…（10分）
代入①，整理得cosC=

4-sinC

8

．
結(jié)合sin²C+cos²C=1進行整理，得65sin²C-8sinC-48=0，…（12分）
解之得sinC=

12

13

或sinC=-

4

5

．
∵C∈（0，π），可得sinC＞0
∴sinC=

12

13

（負值舍去）．…（14分）

點評：本題在三角形ABC中給出

AB

•

AC

=

3

2

S，求角A的余弦，并在已知a，b，c成等差數(shù)列情況下求角C的正弦，著重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識，屬于基礎題．