Question

如圖，在直線y=0和y=a（a＞0）之間表示的是一條河流，河流的一側(cè)河岸（x軸）是一條公路，且公路隨時隨處都有公交車來往．家住A（0，a）的某學(xué)生在位于公路上B（d，0）（d＞0）處的學(xué)校就讀．每天早晨該學(xué)生都要從家出發(fā)，可以先乘船渡河到達公路上某一點，再乘公交車去學(xué)校，或者直接乘船渡河到達公路上B（d，0）處的學(xué)校．已知船速為υ（υ＞0），車速為2υ（水流速度忽略不計）．
（Ⅰ）若d=2a，求該學(xué)生早晨上學(xué)時，從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間；
（Ⅱ）若，求該學(xué)生早晨上學(xué)時，從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)該學(xué)生從家出發(fā)，先乘船渡河到達公路上某一點P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交車去學(xué)校，所用的時間為t，則，求導(dǎo)函數(shù)，從而確定極值點，由此可求得函數(shù)的最值，從而得結(jié)論；
（II）由（I）的討論可知，當d=上的減函數(shù)，所以當時，即該學(xué)生直接乘船渡河到達公路上學(xué)校，所用的時間最短，故可得結(jié)論．
解答：解：（I）設(shè)該學(xué)生從家出發(fā)，先乘船渡河到達公路上某一點P（x，0）（0≤x≤d），再乘公交車去學(xué)校，所用的時間為t，則．…（3分）
令．…（5分）
且當，…（6分）
當，…（7分）
當時，所用的時間最短，最短時間為：．…（9分）
答：當d=2a時，該學(xué)生從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間是．
（II）由（I）的討論可知，當d=上的減函數(shù)，所以當時，
即該學(xué)生直接乘船渡河到達公路上學(xué)校，所用的時間最短．…（12分）
最短的時間為…（14分）
答：當時，該學(xué)生從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間是
點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是函數(shù)模型的構(gòu)建．