Question

13．如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC=CA=2BD，M是EA的中點(diǎn)．求證：
（1）DE=DA；      
（2）DM∥平面ABC       
（3）平面BDM⊥平面ECA．

Answer 1

分析 （1）取EC中點(diǎn)F，連接DF．由線面垂直的性質(zhì)和三角形的全等可得DE=DA；
（2）取AC中點(diǎn)N，連接MN、NB，運(yùn)用中位線定理可得四邊形MNBD是平行四邊形，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（3）由中位線定理可得四邊形MNBD是矩形，由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 解：（1）如圖所示，取EC中點(diǎn)F，連接DF．
∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，
∴DB⊥平面ABC．
∴DB⊥AB．
∵BD∥CE，BD=$\frac{1}{2}$CE=FC，
∴四邊形FCBD是矩形，∴DF⊥EC．
又BA=BC=DF，
∴Rt△DEF≌Rt△ADB，
∴DE=DA；
（2）如圖所示，取AC中點(diǎn)N，連接MN、NB，
∵M(jìn)是EA的中點(diǎn)，∴MN平行且等于$\frac{1}{2}$EC．
由BD平行且等于$\frac{1}{2}$EC，MN平行且等于BD，
∴四邊形MNBD是平行四邊形，
∴DM∥NB，又DM?平面ABC，NB?平面ABC，
∴DM∥平面ABC；
（3）MN平行且等于$\frac{1}{2}$EC．
由BD平行且等于$\frac{1}{2}$EC，
MN平行且等于BD，
且BD⊥平面ABC，可得四邊形MNBD是矩形，
于是DM⊥MN．
∵DE=DA，M是EA的中點(diǎn)，
∴DM⊥EA．又EA∩MN=M，
∴DM⊥平面ECA，而DM在平面BDM內(nèi)，
∴平面ECA⊥平面BDM．

點(diǎn)評 本題考查直線和平面平行的判定和面面垂直的判定定理的運(yùn)用，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．