Question

5．設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對的邊為a、b、c，函數(shù)f（x）=cosx+sin（x-$\frac{π}{6}$），且f（A）=1．
（1）求A；
（2）求$\frac{1}{sinB}$+$\frac{1}{sinC}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意和三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），結(jié)合A的范圍可得；
（2）由三角函數(shù)公式化簡可得$\frac{1}{sinB}$+$\frac{1}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）}{-\frac{1}{4}+si{n}^{2}（B+\frac{π}{6}）}$，令t=sin（B+$\frac{π}{6}$），由函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：（1）由題意化簡可得f（x）=cosx+sin（x-$\frac{π}{6}$）
=cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$），
∴f（A）=sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，A為三角形內(nèi)角，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）$\frac{1}{sinB}$+$\frac{1}{sinC}$=$\frac{1}{sinB}$+$\frac{1}{sin（\frac{2π}{3}-B）}$
=$\frac{1}{sinB}$+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB}$
=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB+sinB}{sinB（\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）}$
=$\frac{\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）}{\frac{\sqrt{3}}{4}sin2B+\frac{1-cos2B}{4}}$
=$\frac{\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）}{\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2B-\frac{1}{2}cos2B）+\frac{1}{4}}$
=$\frac{\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos（2B+\frac{π}{3}）}$
=$\frac{\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}[1-2si{n}^{2}（B+\frac{π}{6}）]}$
=$\frac{\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）}{-\frac{1}{4}+si{n}^{2}（B+\frac{π}{6}）}$，
令t=sin（B+$\frac{π}{6}$），則$\frac{1}{2}$＜t≤1，
則原式=$\frac{\sqrt{3}t}{-\frac{1}{4}+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{t-\frac{1}{4t}}$，
由函數(shù)的知識可得m=t-$\frac{1}{4t}$在t∈（$\frac{1}{2}$，1]單調(diào)遞增，
∴0＜m≤$\frac{3}{4}$，∴原式≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角形的知識和函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．