Question

10．已知f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，又有f（f（x）+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{f（x）}$，求f（1）

Answer 1

分析 根據(jù)條件設(shè)f（x）=$\frac{k}{x}$，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可．

解答 解：根據(jù)條件可知f（x）為反比例函數(shù)，設(shè)f（x）=$\frac{k}{x}$，
∵f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，∴k＜0，
代入方程得f（$\frac{k}{x}$+$\frac{1}{x}$）=f（$\frac{k+1}{x}$）=$\frac{x}{k}$，
即$\frac{kx}{k+1}$=$\frac{x}{k}$，
即k²=k+1，即k²-k-1=0，
解得k=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$或k=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍），
即f（x）=$\frac{1-\sqrt{5}}{2x}$，則f（1）=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．