Question

2．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）以橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）的焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點，且以橢圓C₂的右頂點A為一個焦點，它的一條漸近線與橢圓C₂交于P，Q，若$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PQ}$=0，則雙曲線C₁的離心率e滿足（　�。�

• A． e²=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• B． e²=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． e²=$\frac{3}{2}$
• D． e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 由條件可得a²=m²-n²，m²=a²+b²，可得n²=b²，將橢圓方程化為b²x²+c²y²=b²c²，求出雙曲線的一條漸近線方程代入橢圓方程，求得P的坐標，又A（c，0），由向量垂直的條件，即兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡整理，結(jié)合離心率公式和a，b，c的關系，可得e的方程，解方程即可得到所求值．

解答 解：由題意可得a²=m²-n²，m²=a²+b²，
可得n²=b²，
則橢圓方程化為b²x²+（a²+b²）y²=b²（a²+b²），
即b²x²+c²y²=b²c²，
由雙曲線的一條漸近線方程y=$\frac{a}$x，代入橢圓方程可得，
（b²+c²•$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$）x²=b²c²，
解得x=±$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，
可取P（$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$），又A（c，0），
若$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PQ}$=0，則$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，
可得k_AP=-$\frac{a}$，
即為$\frac{\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}}{\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}-c}$=-$\frac{a}$，
化為c²=a$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
兩邊平方可得c⁴=a⁴+a²c²，
兩邊同除以a⁴，結(jié)合e=$\frac{c}{a}$，可得
e⁴-e²-1=0，
解得e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（負的舍去）．
故選：D．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率求法，注意運用方程思想，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．