Question

（2011•順義區(qū)二模）已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB，N為AB
上一點，AB=4AN，M，D，S分別為PB，AB，BC的中點．
（1）求證：PA∥平面CDM；
（2）求證：SN⊥平面CDM；
（3）求二面角D-MC-N的大�。�

Answer 1

分析：（1）在三棱錐P-ABC中，由M，D，分別為PB，AB的中點，知MD∥PA，由此能夠證明PA∥平面CMD．
（2）因為M，D，分別為PB，AB的中點，所以MD∥PA．因為PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC，又SN?平面ABC，所以MD⊥SN．設(shè)PA=1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M(1，0，

1

2

)，N(

1

2

，0，0)，S(1，

1

2

，0)，由向量法能夠證明SN⊥平面CMD．
（3）

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)是面CMD的一個法向量，設(shè)面MCN的法向量

n

=(x，y，z)，由

n

•

CM

=0，

n

•

CN

=0，得到

n

=(-1，-

1

2

，1)，由此能求出二面角D-MC-N的大小．

解答：（1）證明：在三棱錐P-ABC中，
因為M，D，分別為PB，AB的中點，所以MD∥PA，
因為MD?平面CMD，PA?平面CMD，
所以PA∥平面CMD．
（2）證明：因為M，D，分別為PB，AB的中點，
所以MD∥PA，
因為PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC，
又SN?平面ABC所以MD⊥SN．…（6分）
設(shè)PA=1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系．如圖所示，
則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M(1，0，

1

2

)，N(

1

2

，0，0)，S(1，

1

2

，0)，
所以

CM

=(1，-1，

1

2

)，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
因為

CM

•

SN

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
所以CM⊥SN．…（9分）
又CM∩MD=M，
所以SN⊥平面CMD．…（10分）
（3）解：由（2）知，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)是平面CMD的一個法向量，
設(shè)平面MCN的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

CM

=0，

n

•

CN

=0，
即

(x，y，z)•(1，-1 1 2 )=0 (x，y，z)•( 1 2 ，-1，0)=0

，
所以

x=-z y=- 1 2 z

，令z=1，則x=-1，y=-

1

2

，
所以

n

=(-1，-

1

2

，1)，
從而cos?

n

，

SN

＞=

n • SN

| n || SN |

=

2

2

，
因為二面角D-MC-N為銳角．
所以二面角D-MC-N的大小為

π

4

．…..（14分）

點評：本題考查PA∥平面CDM的證明，求證SN⊥平面CDM，求二面角D-MC-N的大小．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．