已知函數(shù)f（x）=ax2+4x-2滿足對任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）試討論函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的零點的個數(shù)；
（3）對于給定的實數(shù)a，有一個最小的負數(shù)M（a），使得x∈[M（a），0]時，-4≤f（x）≤4都成立，則當(dāng)a為何值時，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．
（1）∵f(
x1+x2
2
)-
f(x1)+f(x2)
2
=a(
x1+x2
2
)2+b(
x1+x2
2
)+c-
ax12+bx1+c+ax22+bx2+c
2
=-
a
4
(x1-x2)2＜0，4分
又∵x1≠x2，∴必有a＞0，∴實數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）． 2分
（2）△=16+8a，由（1）知：a＞0，所以△＞0． 由 a＞0，f（1）=a+2＞0
①當(dāng)0＜a＜6時，總有f（-1）＜0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，
故0＜a＜6時，f（x）在[-1，1]上有一個零點； 2分
②當(dāng)a＞6時，
a＞0
-1＜-
4
2a
＜1
f(1)=a+4-2＞0
f(-1)=a-4-2＞0
，即a＞6時，f（x）在[-1，1]上有兩個零點；2分
③當(dāng)a=6時，有f（-1）=0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，故a=6時，f（x）在[-1，1]上有兩個零點．
綜上：0＜a＜6時，f（x）在[-1，1]上有一個零點；a≥6時，f（x）在[-1，1]上有兩個零點． 2分
（3）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+
2
a
)2-2-
4
a
，
顯然f（0）=-2，對稱軸x=-
2
a
＜0．
①當(dāng)-2-
4
a
＜-4，即0＜a＜2時，M(a)∈(-
2
a
，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax2+4x-2=-4，解得x=
-2±
4-2a
a
，
此時M（a）取較大的根，即M(a)=
-2+
4-2a
a
=
-2
4-2a
+2
，
∵0＜a＜2，∴M(a)=
-2
4-2a
+2
＞-1． 2分
②當(dāng)-2-
4
a
≥-4，即a≥2時，M(a)＜-
2
a
，且f[M（a）]=4．
令ax2+4x-2=4，解得x=
-2±
4+6a
a
，
此時M（a）取較小的根，即M(a)=
-2-
4+6a
a
=
-6
4+6a
+2
，
∵a≥2，∴M(a)=
-6
4+6a
-2
≥-3． 當(dāng)且僅當(dāng)a=2時，取等號． 3分
∵-3＜-1，∴當(dāng)a=2時，M（a）取得最小值-3． 1分．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過點（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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