Question

2009年5月11日，中國(guó)內(nèi)地出現(xiàn)首例輸入性甲型H1N1流感疑似病例．中國(guó)進(jìn)入防控甲型H1N1流感的關(guān)鍵時(shí)期，到目前為止，中國(guó)在防控方面取得了令人滿意的成績(jī)．據(jù)統(tǒng)計(jì)：公眾對(duì)我國(guó)防控甲型H1N1流感的滿意率p，（不滿意率為q，p+q=1），現(xiàn)隨機(jī)從人群中抽出n個(gè)人調(diào)查對(duì)我國(guó)防控甲型H1N1流感的滿意度，用隨機(jī)變量x表示調(diào)查的這些人中的不滿意的人數(shù)．
（1）當(dāng)n=3，p=0.9，列出隨機(jī)變量X的分布列，并求出隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望E（X）．
（2）試證明：E（X）=nq．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的，各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，每次試驗(yàn)只要兩種結(jié)果，要么發(fā)生要么不發(fā)生，隨機(jī)變量是這3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中實(shí)件發(fā)生的次數(shù)．根據(jù)公式得到分布列．
（2）任取一個(gè)發(fā)生n次的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因滿足二項(xiàng)分布得到分布列，設(shè)出成功概率是p，不成功概率是q，根據(jù)一般求期望的方法，得到期望的表示式，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．
解答：（1）解：由題意得：每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的，
各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，每次試驗(yàn)只要兩種結(jié)果，要么發(fā)生要么不發(fā)生，
隨機(jī)變量是這3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中實(shí)件發(fā)生的次數(shù)．∴X的取值是0、1、2、3
∴X的分布列是

故E（X）=3×0.9=2.7．
（2）證明：任取一個(gè)發(fā)生n次的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因滿足二項(xiàng)分布得到分布列

∴E（X）=1×C_n¹p^n-1q+2×C_n²p^n-2q²+…n×C_nⁿqⁿ
=nq（C_n-1p^n-1+C_n-1¹p^n-2q+…+C_n-1^n-1q^n-1）
=nq（p+q）^n-1
=nq
點(diǎn)評(píng)：解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡(jiǎn)單的多．