Question

1．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}&{\;}\\{y≥1}&{\;}\\{x+y≤5}&{\;}\end{array}\right.$時，z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$（a≥b＞0）的最大值為1，則a+b的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)可得$\frac{1}{a}+\frac{4}=1$，再由基本不等式求a+b的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤5}\end{array}\right.$作出可行域如圖：

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=5}\end{array}\right.$，解得A（1，4），
化目標函數(shù)z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$（a≥b＞0）為$y=-\frac{a}x+bz$，由圖可知，當直線$y=-\frac{a}x+bz$過A時，
目標函數(shù)有最大值為$\frac{1}{a}+\frac{4}=1$，
∵a≥b＞0，
∴a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）=5+$\frac{a}+\frac{4a}$$≥5+2\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}=9$．
當且僅當b=2a，即a=3，b=6時上式等號成立．
故選：D．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法與數(shù)學轉化思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．