Question

9．正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱與底面邊長相等均為a，此四棱錐的高為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；側(cè)棱與底面所成的角$\frac{π}{4}$；側(cè)面與底面所成的角arctan$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求高，結(jié)合線面角和二面角的定義作出平面角進(jìn)行求解即可．

解答 解：如圖所示，
連接AC，BD，相交于點O，連接OP．
∵四棱錐P-ABCD是正四棱錐，
∴OP⊥底面ABCD．
∴∠PAO是側(cè)棱與底面所成的角．
取BC的中點E，連接PE，OE，
則∠PEO是側(cè)面與底面所成的角
∵正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱與底面邊長相等均為a，
∴AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
則PO=$\sqrt{P{A}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
在Rt△OAP中，cos∠PAO=$\frac{OA}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$∠PAO=\frac{π}{4}$，
即側(cè)棱與底面所成的角是$\frac{π}{4}$，
∵OE=$\frac{1}{2}$a，
∴tan∠PEO=$\frac{PO}{OE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{1}{2}a}$=$\sqrt{2}$，
即∠PEO=arctan$\sqrt{2}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．a(chǎn)rctan$\sqrt{2}$

點評 本題主要考查線面角和二面角的求解，根據(jù)條件結(jié)合線面角和二面角的定義作出平面角是解決本題的關(guān)鍵．