證明對于任意實數(shù)x、y有x4+y4≥xy(x+y)2.

解析:因為所證的不等式次數(shù)較高,不易證,可用分析法.

證明:要證x4+y4≥xy(x+y)2,

只需證2(x4+y4)≥x3y+2x2y2+xy3,

只需證

∵x4+y4≥2x2y2成立,

只需證x4+y4≥x3y+xy3成立.

只需證x4+y4-x3y-xy3≥0,

即x3(x-y)-y3(x-y)≥0,

即(x3-y3)(x-y)≥0.

∵x-y與x3-y3同號,

∴(x-y)(x3-y3)≥0.

∴x4+y4≥x3y+xy3.

∴x4+y4≥xy(x+y)2成立.

練習冊系列答案
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已知f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時，f（x）＞0，且對于任意實數(shù)x，y滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）試解不等式f（x）+f（x-2）＜3．

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已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(1)=
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，且對于任意實數(shù)x，y，總有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（II）定義數(shù)列{an}：an=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求{an}的通項公式；
（III）若對于任意非零實數(shù)y，總有f（y）＞2．證明：對于任意m，n∈N*，若m＞n，則f（m•y）＞f（n•y）．

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證明對于任意實數(shù)x、y有x4＋y4≥xy(x＋y)2．

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