Question

11．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$-3lnx（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，計(jì)算f（e），f（1）的大小，求出f（x）的最大值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
（1）由題有f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，
所以由x=3是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)得f′（3）=1-$\frac{a}{9}$-1=0，解得：a=0，
此時(shí)f′（x）=1-$\frac{3}{x}$=$\frac{x-3}{x}$，
所以，當(dāng)x＞3時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，
即函數(shù)f（x）在（3，+∞）單調(diào)遞增；在（0，3）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3）；
（2）因?yàn)閍=-2，所以f（x）=x-$\frac{2}{x}$-3lnx，
f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$=$\frac{（x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
所以，當(dāng)0＜x＜1或x＞2時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（2，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2），
又x∈[1，e]，所以f（x）在[1，2]遞減，在[2，e]遞增，
所以f（x）的最小值f（x）_min=f（2）=1-3ln2，
又f（1）=-1，f（e）=e-$\frac{2}{e}$-3及f（e）-f（1）=e-$\frac{2}{e}$-2＜2.72-$\frac{2}{2.72}$-2=$\frac{1.9584-2}{2.72}$＜0，
所以f（x）的最大值為f（x）_max=f（1）=-1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．