Question

1．已知圓C的圓心在直線4x+y=0上，且與直線x+y-1=0相切于點P（3，-2）．
（1）求圓C的方程；
（2）過圓內(nèi)一點P（2，-3）的直線l與圓交于A、B兩點，求弦長AB的最小值．

Answer 1

分析 （1）過切點且與l：x+y-1=0垂直的直線為y=x-5，與y=-4x聯(lián)立可求得圓心，再由兩點間的距離公式求得半徑r，即求得圓的方程．
（2）當CP⊥AB，即P為AB中點時，弦長AB最小，即可得弦長AB的最小值．

解答 解：（1）過切點且與l：x+y-1=0垂直的直線為y=x-5，與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為C（1，-4），
∴r=$\sqrt{（3-1）^{2}+（-2+4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+4）²=8；
（2）當CP⊥AB，即P為AB中點時，弦長AB最小
CP=$\sqrt{（1-2）^{2}+（-4+3）^{2}}=\sqrt{2}$．
弦長AB的最小值為2$\sqrt{{r}^{2}-C{P}^{2}}=2\sqrt{6}$．

點評 本題考查了圓的方程，直線與圓的相交弦問題，屬于中檔題．