Question

已知點(diǎn)A（2，3），B（5，4），C（7，10），若點(diǎn)P滿足

AP

=

AB

+λ

AC

（λ∈R），當(dāng)λ為何值時(shí)：
（1）點(diǎn)P在直線y=x上；
（2）點(diǎn)P在第四象限．

Answer 1

考點(diǎn)：向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)P（x，y），求出

AP

、

AB

、

AC

，由

AP

=

AB

+λ

AC

，求出x、y，令x=y，求出λ的值；
（2）由點(diǎn)P（x，y），令

x＞0 y＜0

，求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則

AP

=（x-2，y-3），

AB

=（5-2，4-3）=（3，1），

AC

=（7-2，10-3）=（5，7）；
∵

AP

=

AB

+λ

AC

，
∴（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7）=（3+5λ，1+7λ），
即

x-2=3+5λ y-3=1+7λ

，
∴

x=5+5λ y=4+7λ

；
當(dāng)5+5λ=4+7λ，即λ=

1

2

時(shí)，x=y，
此時(shí)點(diǎn)P在直線y=x上；
（2）由（1）知點(diǎn)P（x，y）滿足

x=5+5λ y=4+7λ

，
令

x＞0 y＜0

，即

5+5λ＞0 4+7λ＜0

，
解得-1＜λ＜-

4

7

；
∴當(dāng)-1＜λ＜-

4

7

時(shí)，點(diǎn)P在第四象限．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的知識(shí)應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)設(shè)出P的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示求出x，y的表達(dá)式，即可根據(jù)題目要求，解出正確答案．