Question

已知數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，a₁=1，{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列，求證：{a_n-2}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和，S_n+1-S_n=a_n+1，問題得以解決．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}前n項和為S_n
∴S_n+1-S_n=a_n+1
∵{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，
即a_n+1+S_n+1-a_n-S_n=2，
∴2a_n+1 -2=a_n，
即2a_n+1 -4=a_n-2，
∴

an+1-2

an-2

=

1

2

∵a₁=1，a₁-2=-1，
∴{a_n-2}是以-1為首項，公比為

1

2

的等比數(shù)列．

點評：此題考查了等差與等比數(shù)列的通項公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．