Question

若對任意θ∈R，不等式cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：構(gòu)造函數(shù)f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角形函數(shù)關(guān)系，可將函數(shù)的解析式化為f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-2m-1的形式，分-1≤m≤1，m≥1，m≤-1三種情況，討論函數(shù)的最大值，最后匯總討論結(jié)果，即可得到答案．

解答： 解：設(shè)f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0對任意的θ總成立，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1
∴當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，函數(shù)的最大值為m²-2m-1＜0，解得1-

2

＜m≤1；
當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)的最大值為f（1）=-2＜0
∴m≥1時(shí)均成立；
當(dāng)m≤-1時(shí)，函數(shù)的最大值為f（-1）=-4m-2＜0，m＞-

1

2

，矛盾無解．
綜上得m的取值范圍是m∈（1-

2

，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，其中構(gòu)造函數(shù)f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵．