Question

已知P（x，y）為☉C：（x+2）²+y²=1上任一點．
（1）求x-2y的最值；
（2）求

y

x-1

的最大值；
（3）求x²+y²-2x-4y+5的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）設z=x-2y，利用直線和圓的位置關系即可求出x-2y的最值；
（2）設z=

y

x-1

，則z的幾何意義為到定點（1，0）的斜率，利用直線和圓相切，即可求出z的最大值；
（3）設z=x²+y²-2x-4y+5=（x-1）²+（y-2）²，則z的幾何意義圓上的點到定點A（1，2）距離的平方，根據(jù)距離公式即可求出z的取值范圍．

解答： 解：（1）設z=x-2y，則直線方程為x-2y-z=0，
則圓心（-2，0）到直線的距離d=

|-2-z|

5

≤1時，
即|z+2|≤

5

，
∴-

5

-2≤z≤

5

-2，
即x-2y的最大值為

5

-2，最小值為-

5

-2．
（2）設z=

y

x-1

，則y=zx-z，即zx-y-z=0，
當直線和圓相切時，有

|-2z-z|

z2+1

=1，
即|3z|=

z2+1

，
平方得9z²=z²+1，
即z²=

1

8

，∴z=±

1 8

=±

2

4

，
∴

y

x-1

的最大值為

2

4

；
（3）設z=x²+y²-2x-4y+5=（x-1）²+（y-2）²，
則z的幾何意義圓上的點到定點A（1，2）距離的平方，
圓心距|CA|=

(1+2)2+22

=

9+4

=

13

，
∴圓C上點到A的距離的最大為

13

+1，最小值為

13

-1，
∴（

13

-1）²≤z≤（

13

+1）²，
即14-2

13

≤z≤14+2

13

．

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系的判斷，根據(jù)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關鍵．