Question

如圖，四面體ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC兩兩互相垂直，在該四面體表面上與點A距離是

2 3

3

的點形成一條曲線，這條曲線的長度是

 

．

Answer 1

考點：多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：先求出DG，DH的長，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出∠DAp₄，∠DAp₁，得到∠DAP₄=∠BAP₁，弧長公式求得

P3P4

=

P1P2

，以及

P3P4

，

P1P2

的大小，
這條曲線的長度是各個弧長．

解答： 解：如圖勾股定理求出DP₄=

12 9 -1

=

3

3

=DP₁
tan∠DAP₄=

DC

DA

=

3

3

，
∴∠DAP₄=

π

6

=∠DAP₁，
∴∠CAP₄=∠P₁AB=

π

4

-

π

6

=

π

12

，
∴由弧長公式得

P 3P4

=

P 1P2

=

π

12

×

2 3

3

=

3 π

18

，

P 4P1

=

P 2P3

=

π

2

×

3

3

=

3 π

6

，
∴曲線長為

3 π

18

+

3 π

18

+

3

6

+

2 3

3

×

π

3

=

3 π

2

，
這條曲線的長度是

3

2

π，
故答案為：

3 π

2

．

點評：本題考查了運用弧長公式求解空間幾何體表面的最短距離問題，屬于中檔題，關(guān)鍵是確定弧對應(yīng)的圓心角，運用公式求解．