Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交于點(diǎn)M，雙曲線C的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，F(xiàn)是其右焦點(diǎn)，且|MF|=1．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)P、Q，且P在A、Q之間，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AQ}$且$λ≥\frac{1}{3}$，求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，求得M的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和離心率公式，以及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（II）設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，代入雙曲線的方程，設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運(yùn)用判別式大于0，兩根之和大于0，兩根之積大于0，解不等式可得$\frac{1}{2}$＜k²＜1且k＜0  ①再由向量的關(guān)系的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，即可得到$\frac{4}{5}$≤k²＜1②，可得k的范圍．

解答 解：（I）設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
令x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，可得y=$\frac{ab}{c}$，
即M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），F(xiàn)（c，0），
由|MF|=1，可得
（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c）²+（$\frac{ab}{c}$）²=1，
由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
且a²+b²=c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1；
（II）設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
由l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=16{k}^{2}+16（1-2{k}^{2}）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{1-2{k}^{2}}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4}{2{k}^{2}-1}＞0}\\{1-2{k}^{2}≠0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$＜k²＜1且k＜0  ①
若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AQ}$且$λ≥\frac{1}{3}$，P在A、Q之間，則x₁=λx₂，$\frac{1}{3}$≤λ＜1，
則$\left\{\begin{array}{l}{（1+λ）{x}_{2}=\frac{4k}{1-2{k}^{2}}}\\{λ{(lán){x}_{2}}^{2}=\frac{4}{2{k}^{2}-1}}\end{array}\right.$，即有$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}-1}$=2+$\frac{2}{2{k}^{2}-1}$，
設(shè)f（λ）=$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$+2在[$\frac{1}{3}$，1）上為減函數(shù)，（可由f′（λ）=1-$\frac{1}{{λ}^{2}}$＜0）
則4＜f（λ）≤$\frac{16}{3}$，即4＜2+$\frac{2}{2{k}^{2}-1}$≤$\frac{16}{3}$，
解得$\frac{4}{5}$≤k²＜1②
由①②可得-1＜k≤-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
則k的取值范圍是（-1，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和兩點(diǎn)的距離公式，考查直線的斜率的范圍，注意運(yùn)用向量共線坐標(biāo)表示和直線方程與雙曲線方程聯(lián)立．運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．